важное свойство некоторых семейств функций. Семейство функций называется равностепенно непрерывным на данном отрезке [
а,
b], если для всякого числа ε > 0 найдётся такое δ > 0, что |
f (
x2)
- f (
x1)| < ε для любых
x1 и
x2 из [
а,
b] для которых |
x2 - x1| <
δ
, и для любой функции
f (
x) данного семейства. Все функции равностепенно непрерывного семейства равномерно непрерывны на [
a,
b] (см.
Равномерная непрерывность).
Свойство Р. н. семейства функций находит приложения в теории дифференциальных уравнений и функциональном анализе благодаря следующей теореме: для того чтобы из данного семейства функций можно было выделить равномерно сходящуюся последовательность (см.
Равномерная сходимость), необходимо и достаточно, чтобы семейство функций было равностепенно непрерывно и равномерно ограниченно (т. е. чтобы все функции семейства удовлетворяли на [
а,
b] условию |
f (
x)| ≤
M с одним и тем же
М). Возможность выделить равномерно сходящуюся последовательность означает, что данное семейство образует относительно компактное множество в пространстве С непрерывных функций (см.
Компактность).